Transformando Expressões Em Produtos E Quocientes De Potências Passo A Passo

E aí, pessoal! Tudo tranquilo? Hoje vamos desvendar um mistério matemático que pode parecer complicado à primeira vista, mas prometo que, com este guia passo a passo, vocês vão tirar de letra. Vamos transformar expressões em produtos e quocientes de potências, um conceito fundamental na matemática. Preparados para embarcar nessa jornada? Então, bora lá!

O Que São Produtos e Quocientes de Potências?

Antes de começarmos a resolver as expressões, é crucial entendermos o que significam produtos e quocientes de potências. Em termos simples, estamos falando de multiplicações e divisões envolvendo números elevados a diferentes expoentes. A chave aqui é decompor os números em seus fatores primos e, em seguida, aplicar as propriedades das potências.

Produtos de potências são expressões onde multiplicamos potências com a mesma base. Por exemplo, ${2^3 \times 2^2}$ é um produto de potências. A regra principal aqui é somar os expoentes quando as bases são iguais. Já os quocientes de potências envolvem a divisão de potências com a mesma base. Aqui, a regra é subtrair os expoentes.

Entender esses conceitos é o alicerce para resolver as expressões que vamos abordar. Agora, vamos mergulhar nas questões e ver como aplicar essas ideias na prática. Fiquem ligados que a jornada está só começando!

Desvendando as Expressões: Passo a Passo

Agora que já entendemos o conceito, vamos colocar a mão na massa e resolver cada uma das expressões propostas. Preparei um guia detalhado para cada caso, com o objetivo de tornar o processo o mais claro possível. Vamos juntos nessa!

a) Transformando (7 * 135²) em Produto de Potências

Para começar, temos a expressão ${7 \times 135^2}$. O nosso objetivo é expressá-la como um produto de potências. O primeiro passo é decompor o número 135 em seus fatores primos. Se você já tem prática com isso, ótimo! Se não, não se preocupe, vamos fazer juntos.

O número 135 pode ser decomposto da seguinte forma:

• 135 ÷ 3 = 45
• 45 ÷ 3 = 15
• 15 ÷ 3 = 5
• 5 ÷ 5 = 1

Isso significa que ${135 = 3^3 \times 5}$. Agora, podemos substituir 135 na expressão original:

\begin{align*} 7 \times 135^2 &= 7 \times (3^3 \times 5)^2 \ &= 7 \times (3³⁾2 \times 5^2 \ &= 7 \times 3^{3\times2} \times 5^2 \ &= 7 \times 3^6 \times 5^2 \end{align*}

Portanto, a expressão ${7 \times 135^2}$ transformada em produto de potências é ${7 \times 3^6 \times 5^2}$. Conseguiram pegar o jeito? A decomposição em fatores primos é a chave para simplificar essas expressões. Agora, vamos para a próxima!

b) Convertendo (9 / 53⁶) em Quociente de Potências

Nesta etapa, temos a expressão ${\frac{9}{53^6}}$. Aqui, o desafio é transformar essa divisão em um quociente de potências. O primeiro passo é decompor o número 9 em seus fatores primos. Essa é bem mais simples, né?

${9 = 3 \times 3 = 3^2}$

Agora, podemos reescrever a expressão original:

${ \frac{9}{53^6} = \frac{3^2}{53^6} }$

E voilà! A expressão já está na forma de quociente de potências. Neste caso, não precisamos fazer mais nada, pois 53 é um número primo e não pode ser decomposto. A resposta final é ${\frac{3^2}{53^6}}$. Viram como a simplicidade pode estar presente mesmo em expressões matemáticas? Vamos para a próxima!

c) Expressando (27 * 522) como Produto de Potências

Agora, vamos atacar a expressão ${27 \times 522}$. Assim como no primeiro exemplo, o segredo aqui é decompor os números em seus fatores primos. Vamos começar com o 27, que é um velho conhecido nosso:

${27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3}$

Agora, vamos decompor o 522. Essa pode ser um pouco mais trabalhosa, mas vamos com calma:

• 522 ÷ 2 = 261
• 261 ÷ 3 = 87
• 87 ÷ 3 = 29
• 29 ÷ 29 = 1

Então, ${522 = 2 \times 3^2 \times 29}$. Agora, vamos juntar tudo na expressão original:

\begin{align*} 27 \times 522 &= 3^3 \times (2 \times 3^2 \times 29) \ &= 3^3 \times 2 \times 3^2 \times 29 \ &= 2 \times 3^{3+2} \times 29 \ &= 2 \times 3^5 \times 29 \end{align*}

Assim, a expressão ${27 \times 522}$ transformada em produto de potências é ${2 \times 3^5 \times 29}$. A multiplicação de potências de mesma base ficou clara aqui, né? Somamos os expoentes e chegamos ao resultado. Próxima parada!

d) Simplificando (3 / 10⁴) * (25 * 32²) em Produto e Quociente de Potências

Chegamos a uma expressão um pouco mais complexa: ${\frac{3}{10^4} \times (25 \times 32^2)}$. Mas, ei, não se assustem! Vamos seguir o mesmo método: decompor em fatores primos e aplicar as propriedades das potências. Vamos começar com as partes mais fáceis.

Primeiro, vamos decompor 10 e 25:

• ${10 = 2 \times 5}$
• ${25 = 5^2}$

Agora, vamos decompor 32:

• 32 ÷ 2 = 16
• 16 ÷ 2 = 8
• 8 ÷ 2 = 4
• 4 ÷ 2 = 2
• 2 ÷ 2 = 1

Então, ${32 = 2^5}$. Agora, podemos reescrever a expressão original:

\begin{align*} \frac{3}{10^4} \times (25 \times 32^2) &= \frac{3}{(2 \times 5)^4} \times (5^2 \times (2⁵⁾2) \ &= \frac{3}{2^4 \times 5^4} \times (5^2 \times 2^{5\times2}) \ &= \frac{3}{2^4 \times 5^4} \times (5^2 \times 2^{10}) \ &= 3 \times \frac{5^2 \times 2^{10}}{24 \times 5^4} \ &= 3 \times 2^{10-4} \times 5^{2-4} \ &= 3 \times 2^6 \times 5^{-2} \ &= 3 \times 2^6 \times \frac{1}{5^2} \end{align*}

Ufa! Chegamos à forma final: ${3 \times 2^6 \times 5^{-2}}$ ou, se preferir, ${\frac{3 \times 2^6}{5^2}}$. Essa expressão envolve tanto produtos quanto quocientes de potências. A organização é fundamental aqui para não se perder nos cálculos. Mais uma para a conta! Vamos para a última!

e) Convertendo (2¹ * 7⁴ * 10⁹) em Produto de Potências

Para finalizar, temos a expressão ${2^1 \times 7^4 \times 10^9}$. Essa parece ser mais direta, certo? Mas, como sempre, vamos decompor o 10 em seus fatores primos:

${10 = 2 \times 5}$

Agora, substituímos na expressão original:

\begin{align*} 2^1 \times 7^4 \times 10^9 &= 2^1 \times 7^4 \times (2 \times 5)^9 \ &= 2^1 \times 7^4 \times 2^9 \times 5^9 \ &= 2^{1+9} \times 7^4 \times 5^9 \ &= 2^{10} \times 7^4 \times 5^9 \end{align*}

Pronto! A expressão transformada em produto de potências é ${2^{10} \times 7^4 \times 5^9}$. Conseguimos simplificar tudo usando as propriedades das potências. E assim, finalizamos nossa jornada pelas expressões! A prática leva à perfeição, então continuem resolvendo exercícios paraInternalização e dominem esse conceito.

Conclusão: Dominando a Arte da Transformação

E aí, pessoal! Chegamos ao final de mais uma aventura matemática. Hoje, exploramos como transformar expressões em produtos e quocientes de potências. Vimos que a decomposição em fatores primos é a ferramenta chave para simplificar as expressões e aplicar as propriedades das potências.

Percorremos um caminho cheio de desafios, desde expressões mais simples até outras mais complexas. Cada passo foi fundamental paraInternalização os conceitos e técnicas envolvidas. Lembrem-se: a matemática é como uma maratona, não uma corrida de 100 metros. A consistência e a prática são o segredo paraInternalização os resultados.

Espero que este guia passo a passo tenha sido útil e que vocês se sintam mais confiantes para enfrentar desafios matemáticos. E, claro, continuem explorando, perguntando e praticando. A matemática é um universo fascinante, e sempre há algo novo paraInternalização.

Até a próxima, pessoal! E bons estudos!