Resolver Ecuaciones Cuadráticas Completando El Cuadrado Guía Paso A Paso

¡Hola, entusiastas de las matemáticas! En este artículo, vamos a profundizar en la técnica de completar el cuadrado para resolver ecuaciones cuadráticas. Este método es súper útil, especialmente cuando factorizar directamente no es sencillo. Desglosaremos cuatro ejemplos paso a paso, para que domines este concepto. ¡Vamos a sumergirnos!

¿Qué es completar el cuadrado?

Completar el cuadrado es una técnica para convertir una ecuación cuadrática en una forma perfecta de trinomio cuadrado, que luego podemos resolver fácilmente. Básicamente, estamos manipulando la ecuación para crear un binomio al cuadrado, lo que nos permite encontrar las raíces (o soluciones) de la ecuación. Este método es particularmente útil cuando la ecuación cuadrática no se factoriza fácilmente mediante métodos tradicionales.

El objetivo principal de completar el cuadrado es reescribir una ecuación cuadrática en la forma $ax^2 + bx + c = 0$ en la forma $(x + p)^2 = q$, donde $p$ y $q$ son constantes. Una vez que la ecuación está en esta forma, podemos resolver fácilmente para $x$ tomando la raíz cuadrada de ambos lados y simplificando. Este método proporciona una manera sistemática de resolver ecuaciones cuadráticas, incluso aquellas que parecen desalentadoras al principio.

¿Por qué completar el cuadrado?

Completar el cuadrado es más que un truco matemático; es una habilidad fundamental en álgebra. Aquí hay algunas razones por las que vale la pena dominar esta técnica:

• Resolver ecuaciones no factorizables: Algunas ecuaciones cuadráticas no se factorizan limpiamente. Completar el cuadrado nos brinda una forma confiable de encontrar soluciones incluso en estos casos.
• Derivación de la fórmula cuadrática: La fórmula cuadrática en sí se deriva completando el cuadrado. Comprender este método nos da una apreciación más profunda de dónde proviene la fórmula.
• Transformaciones de cónicas: Completar el cuadrado se usa en geometría analítica para encontrar los vértices y ejes de simetría de parábolas, elipses e hipérbolas.
• Cálculo: La técnica es útil para integrar ciertas funciones.

Pasos generales para completar el cuadrado

Antes de sumergirnos en los ejemplos, repasemos los pasos generales involucrados en completar el cuadrado:

1. Asegúrate de que el coeficiente de $x^2$ sea 1: Si no lo es, divide toda la ecuación por ese coeficiente.
2. Mueve el término constante al lado derecho: Aísla los términos $x^2$ y $x$ en un lado de la ecuación.
3. Completa el cuadrado: Toma la mitad del coeficiente de $x$, elévalo al cuadrado y suma ese valor a ambos lados de la ecuación. Este paso crea un trinomio cuadrado perfecto en el lado izquierdo.
4. Factoriza el trinomio cuadrado perfecto: El lado izquierdo ahora se puede factorizar como $(x + p)^2$, donde $p$ es la mitad del coeficiente original de $x$.
5. Resuelve para $x$: Toma la raíz cuadrada de ambos lados, recuerda considerar tanto las raíces positivas como las negativas, y luego resuelve para $x$.

Ahora, resolvamos los ejemplos que proporcionaste.

Ejemplo A: $2x^2 + 3x - 12 = 0$

¡Muy bien, vamos a sumergirnos en nuestro primer ejemplo! Tenemos la ecuación $2x^2 + 3x - 12 = 0$. Recuerda, el primer paso es asegurarnos de que el coeficiente del término $x^2$ sea 1. ¡Actuemos!

Paso 1: Dividir por el coeficiente de $x^2$

Nuestro coeficiente de $x^2$ es 2, así que dividiremos toda la ecuación por 2:

x^2 + rac{3}{2}x - 6 = 0

Paso 2: Mover la constante al lado derecho

Ahora, movamos la constante (-6) al lado derecho de la ecuación:

x^2 + rac{3}{2}x = 6

Paso 3: Completar el cuadrado

Aquí es donde las cosas se ponen interesantes. Necesitamos completar el cuadrado en el lado izquierdo. Para hacer esto, tomamos la mitad del coeficiente del término $x$ (que es rac{3}{2}), lo elevamos al cuadrado y sumamos el resultado a ambos lados de la ecuación.

• La mitad del coeficiente de $x$: rac{1}{2} imes rac{3}{2} = rac{3}{4}
• Elevarlo al cuadrado: (rac{3}{4})^2 = rac{9}{16}

Ahora, sumamos rac{9}{16} a ambos lados:

x^2 + rac{3}{2}x + rac{9}{16} = 6 + rac{9}{16}

Paso 4: Factorizar el trinomio cuadrado perfecto

El lado izquierdo ahora es un trinomio cuadrado perfecto, que podemos factorizar como:

(x + rac{3}{4})^2

Y sumemos el lado derecho:

6 + rac{9}{16} = rac{96}{16} + rac{9}{16} = rac{105}{16}

Entonces, nuestra ecuación se convierte en:

(x + rac{3}{4})^2 = rac{105}{16}

Paso 5: Resolver para $x$

Ahora, tomamos la raíz cuadrada de ambos lados:

x + rac{3}{4} = rac{\pm\sqrt{105}}{4}

Finalmente, restamos rac{3}{4} de ambos lados para aislar $x$:

x = -rac{3}{4} \pm rac{\sqrt{105}}{4}

Así que, las soluciones son:

x = rac{-3 + \sqrt{105}}{4} y x = rac{-3 - \sqrt{105}}{4}

¡Guau, lo logramos! Resolvimos la ecuación completando el cuadrado. Ahora, vamos al siguiente ejemplo.

Ejemplo B: $x^2 + 18x + 92 = 0$

Muy bien, vamos a enfrentarnos al siguiente desafío: $x^2 + 18x + 92 = 0$. Esta vez, ¡el coeficiente del término $x^2$ ya es 1, lo cual es genial! Podemos pasar directamente al siguiente paso.

Paso 1: Mover la constante al lado derecho

Primero, movamos el término constante (92) al lado derecho de la ecuación:

$x^2 + 18x = -92$

Paso 2: Completar el cuadrado

Ahora, debemos completar el cuadrado en el lado izquierdo. Tomamos la mitad del coeficiente del término $x$ (que es 18), lo elevamos al cuadrado y sumamos el resultado a ambos lados de la ecuación.

• La mitad del coeficiente de $x$: rac{1}{2} imes 18 = 9
• Elevarlo al cuadrado: $9^2 = 81$

Sumemos 81 a ambos lados:

$x^2 + 18x + 81 = -92 + 81$

Paso 3: Factorizar el trinomio cuadrado perfecto

El lado izquierdo ahora es un trinomio cuadrado perfecto, que podemos factorizar como:

$(x + 9)^2$

Y simplifiquemos el lado derecho:

$-92 + 81 = -11$

Entonces, nuestra ecuación se convierte en:

$(x + 9)^2 = -11$

Paso 4: Resolver para $x$

Ahora, tomamos la raíz cuadrada de ambos lados:

$x + 9 = \pm\sqrt{-11}$

Espera un momento. Tenemos la raíz cuadrada de un número negativo. Eso significa que nuestras soluciones serán números complejos.

Reescribamos $\sqrt{-11}$ como $i\sqrt{11}$, donde $i$ es la unidad imaginaria ($\sqrt{-1}$):

$x + 9 = \pm i\sqrt{11}$

Finalmente, restemos 9 de ambos lados para aislar $x$:

$x = -9 \pm i\sqrt{11}$

Así que, las soluciones son:

$x = -9 + i\sqrt{11}$ y $x = -9 - i\sqrt{11}$

¡Voilà! Hemos resuelto esta ecuación completando el cuadrado y hemos encontrado soluciones complejas. ¡Continuemos!

Ejemplo C: $x^2 - 10x + 32 = 0$

¡Muy bien, abordemos el tercer ejemplo: $x^2 - 10x + 32 = 0$. Al igual que en el ejemplo anterior, el coeficiente del término $x^2$ ya es 1. ¡Eso nos ahorra un paso!

Paso 1: Mover la constante al lado derecho

Movamos el término constante (32) al lado derecho de la ecuación:

$x^2 - 10x = -32$

Paso 2: Completar el cuadrado

Para completar el cuadrado, necesitamos tomar la mitad del coeficiente del término $x$ (que es -10), elevarlo al cuadrado y sumarlo a ambos lados de la ecuación.

• La mitad del coeficiente de $x$: rac{1}{2} imes -10 = -5
• Elevarlo al cuadrado: $(-5)^2 = 25$

Sumemos 25 a ambos lados:

$x^2 - 10x + 25 = -32 + 25$

Paso 3: Factorizar el trinomio cuadrado perfecto

El lado izquierdo es ahora un trinomio cuadrado perfecto, que podemos factorizar como:

$(x - 5)^2$

Y simplifiquemos el lado derecho:

$-32 + 25 = -7$

Así que, nuestra ecuación se convierte en:

$(x - 5)^2 = -7$

Paso 4: Resolver para $x$

Ahora, tomemos la raíz cuadrada de ambos lados:

$x - 5 = \pm\sqrt{-7}$

De nuevo, tenemos la raíz cuadrada de un número negativo, lo que significa que tendremos soluciones complejas. Reescribamos $\sqrt{-7}$ como $i\sqrt{7}$:

$x - 5 = \pm i\sqrt{7}$

Finalmente, sumemos 5 a ambos lados para aislar $x$:

$x = 5 \pm i\sqrt{7}$

Así que, las soluciones son:

$x = 5 + i\sqrt{7}$ y $x = 5 - i\sqrt{7}$

¡Excelente! Otra ecuación resuelta con soluciones complejas. ¡Vamos por el último!

Ejemplo D: $3x^2 - 4x - 5 = 0$

Finalmente, llegamos al cuarto ejemplo: $3x^2 - 4x - 5 = 0$. Como en el primer ejemplo, el coeficiente del término $x^2$ no es 1, por lo que tenemos que encargarnos de eso primero.

Paso 1: Dividir por el coeficiente de $x^2$

Dividamos toda la ecuación por 3:

x^2 - rac{4}{3}x - rac{5}{3} = 0

Paso 2: Mover la constante al lado derecho

Movamos el término constante $(-\frac{5}{3})$ al lado derecho de la ecuación:

x^2 - rac{4}{3}x = rac{5}{3}

Paso 3: Completar el cuadrado

Ahora, debemos completar el cuadrado. Tomamos la mitad del coeficiente del término $x$ (que es $-\frac{4}{3}$), lo elevamos al cuadrado y sumamos el resultado a ambos lados de la ecuación.

• La mitad del coeficiente de $x$: rac{1}{2} imes -rac{4}{3} = -rac{2}{3}
• Elevarlo al cuadrado: (-\frac{2}{3})^2 = rac{4}{9}

Sumemos $\frac{4}{9}$ a ambos lados:

x^2 - rac{4}{3}x + rac{4}{9} = rac{5}{3} + rac{4}{9}

Paso 4: Factorizar el trinomio cuadrado perfecto

El lado izquierdo ahora es un trinomio cuadrado perfecto, que podemos factorizar como:

(x - rac{2}{3})^2

Y sumemos el lado derecho:

\frac{5}{3} + rac{4}{9} = rac{15}{9} + rac{4}{9} = rac{19}{9}

Así que, nuestra ecuación se convierte en:

(x - rac{2}{3})^2 = rac{19}{9}

Paso 5: Resolver para $x$

Tomemos la raíz cuadrada de ambos lados:

x - rac{2}{3} = \pm\frac{\sqrt{19}}{3}

Finalmente, sumemos $\frac{2}{3}$ a ambos lados para aislar $x$:

x = rac{2}{3} \pm \frac{\sqrt{19}}{3}

Así que, las soluciones son:

x = rac{2 + \sqrt{19}}{3} y x = rac{2 - \sqrt{19}}{3}

¡Increíble! Hemos resuelto nuestra última ecuación completando el cuadrado.

Conclusión

¡Felicidades, lo lograste! Hemos trabajado juntos a través de cuatro ejemplos diferentes, cada uno mostrando los pasos involucrados en completar el cuadrado. Desde ecuaciones con soluciones directas hasta aquellas que conducen a números complejos, ahora tienes las habilidades para abordar una amplia gama de ecuaciones cuadráticas.

Recuerda, completar el cuadrado es una herramienta poderosa en tu arsenal matemático. No solo ayuda a resolver ecuaciones, sino que también profundiza tu comprensión de la estructura de las ecuaciones cuadráticas. ¡Sigue practicando, y pronto dominarás esta habilidad! ¡Mantén esas habilidades matemáticas afiladas y sigue resolviendo!