Menggeser Grafik Fungsi Kuadrat Y=f(x)=3x²+5x+2 Translasi 3 Satuan Ke Kanan

by ADMIN 76 views

Pendahuluan

Guys, kali ini kita akan membahas tentang bagaimana menggeser grafik fungsi kuadrat, khususnya fungsi y = f(x) = 3x² + 5x + 2, sejauh 3 satuan ke kanan. Ini adalah topik yang menarik dalam matematika karena melibatkan transformasi geometri pada fungsi. Memahami konsep ini akan sangat membantu kita dalam memvisualisasikan dan menganalisis berbagai jenis fungsi kuadrat. Jadi, mari kita mulai dengan memahami dasar-dasar fungsi kuadrat dan translasi grafik.

Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial derajat dua, yang umumnya dinyatakan dalam bentuk f(x) = ax² + bx + c, di mana a, b, dan c adalah konstanta, dan a ≠ 0. Grafik fungsi kuadrat selalu berbentuk parabola. Parabola ini bisa terbuka ke atas jika a > 0 atau terbuka ke bawah jika a < 0. Titik puncak parabola adalah titik di mana fungsi mencapai nilai maksimum atau minimum, tergantung pada arah pembukaan parabola. Titik puncak ini sangat penting karena memberikan informasi tentang perilaku fungsi secara keseluruhan.

Translasi, dalam konteks geometri, adalah pergeseran setiap titik suatu objek atau bentuk sejauh jarak yang sama dalam arah yang sama. Dalam kasus grafik fungsi, translasi berarti kita memindahkan seluruh grafik tanpa mengubah bentuknya. Translasi bisa berupa pergeseran horizontal (ke kiri atau ke kanan) atau pergeseran vertikal (ke atas atau ke bawah). Dalam soal ini, kita akan fokus pada translasi horizontal, yaitu menggeser grafik fungsi kuadrat ke kanan.

Memahami bagaimana translasi mempengaruhi persamaan fungsi adalah kunci untuk menyelesaikan masalah ini. Ketika kita menggeser grafik fungsi f(x) sejauh h satuan ke kanan, kita mengganti x dalam persamaan dengan (x - h). Ini berarti bahwa fungsi yang baru akan menjadi f(x - h). Konsep ini berlaku untuk semua jenis fungsi, tidak hanya fungsi kuadrat. Jadi, dengan mengganti x dengan (x - 3) dalam fungsi y = 3x² + 5x + 2, kita akan mendapatkan persamaan fungsi kuadrat yang telah digeser 3 satuan ke kanan.

Memahami Fungsi Kuadrat y=f(x)=3x²+5x+2

Sebelum kita membahas translasi, mari kita pahami dulu fungsi kuadrat y = f(x) = 3x² + 5x + 2. Fungsi ini memiliki bentuk umum f(x) = ax² + bx + c, di mana a = 3, b = 5, dan c = 2. Karena a > 0, parabola ini terbuka ke atas, yang berarti fungsi ini memiliki nilai minimum. Untuk memahami lebih dalam, kita perlu mencari titik puncak parabola. Titik puncak parabola dapat ditemukan dengan menggunakan rumus x = -b / (2a). Dalam kasus ini, x = -5 / (2 * 3) = -5/6.

Setelah kita mendapatkan nilai x dari titik puncak, kita bisa mencari nilai y dengan menggantikan x ke dalam fungsi f(x). Jadi, y = 3(-5/6)² + 5(-5/6) + 2. Mari kita hitung:

  • y = 3(25/36) - 25/6 + 2
  • y = 25/12 - 50/12 + 24/12
  • y = -1/12

Jadi, titik puncak parabola adalah (-5/6, -1/12). Titik ini adalah titik minimum dari fungsi kuadrat ini. Selain titik puncak, kita juga bisa mencari titik potong dengan sumbu-x dan sumbu-y. Titik potong dengan sumbu-y terjadi ketika x = 0. Jika kita menggantikan x dengan 0 dalam fungsi, kita mendapatkan y = 3(0)² + 5(0) + 2 = 2. Jadi, titik potong dengan sumbu-y adalah (0, 2).

Untuk mencari titik potong dengan sumbu-x, kita perlu menyelesaikan persamaan 3x² + 5x + 2 = 0. Persamaan kuadrat ini dapat difaktorkan menjadi (3x + 2)(x + 1) = 0. Dari sini, kita mendapatkan dua solusi: x = -2/3 dan x = -1. Jadi, titik potong dengan sumbu-x adalah (-2/3, 0) dan (-1, 0). Dengan informasi ini, kita memiliki gambaran yang cukup lengkap tentang grafik fungsi kuadrat ini. Kita tahu bahwa parabola terbuka ke atas, memiliki titik puncak di (-5/6, -1/12), memotong sumbu-y di (0, 2), dan memotong sumbu-x di (-2/3, 0) dan (-1, 0). Memahami karakteristik ini akan membantu kita memvisualisasikan bagaimana grafik akan berubah setelah translasi.

Translasi Grafik 3 Satuan ke Kanan

Sekarang, mari kita bahas inti dari permasalahan ini: bagaimana cara menggeser grafik fungsi kuadrat y = f(x) = 3x² + 5x + 2 sejauh 3 satuan ke kanan. Seperti yang telah kita bahas sebelumnya, translasi horizontal sejauh h satuan ke kanan berarti kita mengganti x dalam persamaan dengan (x - h). Dalam kasus ini, h = 3, jadi kita akan mengganti x dengan (x - 3) dalam fungsi kuadrat kita.

Fungsi yang baru akan menjadi y = 3(x - 3)² + 5(x - 3) + 2. Sekarang, mari kita jabarkan dan sederhanakan persamaan ini:

  • y = 3(x² - 6x + 9) + 5x - 15 + 2
  • y = 3x² - 18x + 27 + 5x - 15 + 2
  • y = 3x² - 13x + 14

Jadi, fungsi kuadrat setelah digeser 3 satuan ke kanan adalah y = 3x² - 13x + 14. Sekarang, mari kita analisis bagaimana translasi ini mempengaruhi karakteristik grafik. Titik puncak, titik potong dengan sumbu-x, dan titik potong dengan sumbu-y akan berubah. Untuk mencari titik puncak yang baru, kita gunakan rumus x = -b / (2a) lagi. Dalam fungsi yang baru, a = 3 dan b = -13, jadi x = -(-13) / (2 * 3) = 13/6.

Sekarang, kita cari nilai y dengan menggantikan x = 13/6 ke dalam fungsi y = 3x² - 13x + 14:

  • y = 3(13/6)² - 13(13/6) + 14
  • y = 3(169/36) - 169/6 + 14
  • y = 169/12 - 338/12 + 168/12
  • y = -1/12

Jadi, titik puncak yang baru adalah (13/6, -1/12). Perhatikan bahwa nilai y dari titik puncak tetap sama, tetapi nilai x telah bergeser 3 satuan ke kanan (dari -5/6 menjadi 13/6). Ini sesuai dengan translasi yang kita lakukan. Selanjutnya, mari kita cari titik potong dengan sumbu-y. Kita gantikan x dengan 0 dalam fungsi yang baru: y = 3(0)² - 13(0) + 14 = 14. Jadi, titik potong dengan sumbu-y yang baru adalah (0, 14). Titik potong ini juga telah bergeser karena translasi.

Untuk mencari titik potong dengan sumbu-x, kita perlu menyelesaikan persamaan 3x² - 13x + 14 = 0. Persamaan kuadrat ini dapat difaktorkan menjadi (3x - 7)(x - 2) = 0. Dari sini, kita mendapatkan dua solusi: x = 7/3 dan x = 2. Jadi, titik potong dengan sumbu-x yang baru adalah (7/3, 0) dan (2, 0). Kedua titik ini juga telah bergeser 3 satuan ke kanan dibandingkan dengan titik potong sumbu-x pada fungsi awal.

Dengan menganalisis perubahan pada titik puncak, titik potong sumbu-y, dan titik potong sumbu-x, kita dapat melihat dengan jelas bagaimana translasi 3 satuan ke kanan mempengaruhi grafik fungsi kuadrat. Seluruh grafik bergeser ke kanan, tetapi bentuk parabola tetap sama.

Kesimpulan

Dalam artikel ini, kita telah membahas bagaimana menggeser grafik fungsi kuadrat y = f(x) = 3x² + 5x + 2 sejauh 3 satuan ke kanan. Kita telah melihat bahwa translasi horizontal mempengaruhi posisi grafik, tetapi tidak mengubah bentuknya. Untuk melakukan translasi horizontal sejauh h satuan ke kanan, kita mengganti x dalam persamaan dengan (x - h). Dalam kasus ini, kita mengganti x dengan (x - 3), yang menghasilkan fungsi baru y = 3x² - 13x + 14.

Kita juga telah menganalisis bagaimana translasi mempengaruhi titik puncak, titik potong dengan sumbu-x, dan titik potong dengan sumbu-y. Titik puncak bergeser dari (-5/6, -1/12) menjadi (13/6, -1/12), titik potong dengan sumbu-y bergeser dari (0, 2) menjadi (0, 14), dan titik potong dengan sumbu-x bergeser dari (-2/3, 0) dan (-1, 0) menjadi (7/3, 0) dan (2, 0). Semua perubahan ini konsisten dengan translasi 3 satuan ke kanan.

Memahami konsep translasi grafik fungsi sangat penting dalam matematika. Ini memungkinkan kita untuk memvisualisasikan dan menganalisis berbagai jenis fungsi dengan lebih baik. Dengan memahami bagaimana translasi mempengaruhi persamaan dan karakteristik grafik, kita dapat menyelesaikan berbagai masalah matematika yang melibatkan transformasi geometri.

Semoga artikel ini bermanfaat dan membantu kalian dalam memahami translasi grafik fungsi kuadrat. Jika kalian memiliki pertanyaan atau ingin membahas topik matematika lainnya, jangan ragu untuk bertanya. Sampai jumpa di artikel berikutnya!