Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLDV Dengan Metode Grafik

Aug 6, 2025 by ADMIN 60 views

Menentukan Himpunan Penyelesaian (HP) SPLDV dengan Metode Grafik: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal

Hey guys! Kali ini kita akan membahas tuntas tentang cara menentukan Himpunan Penyelesaian (HP) dari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) menggunakan metode grafik. Metode ini sangat visual dan membantu kita memahami konsep SPLDV dengan lebih baik. Selain itu, kita juga akan membuat gambar grafiknya, lho! Jadi, simak baik-baik ya!

Apa itu SPLDV?

Sebelum kita masuk ke metode grafik, mari kita pahami dulu apa itu SPLDV. SPLDV adalah sistem yang terdiri dari dua persamaan linear dengan dua variabel. Bentuk umum SPLDV adalah sebagai berikut:

ax + by = c
px + qy = r

Di mana a, b, p, dan q adalah koefisien, x dan y adalah variabel, sedangkan c dan r adalah konstanta. Tujuan kita adalah mencari nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut secara bersamaan. Nilai x dan y inilah yang disebut sebagai himpunan penyelesaian (HP).

Mengapa Metode Grafik?

Metode grafik adalah salah satu cara untuk mencari HP SPLDV. Metode ini sangat efektif untuk memberikan visualisasi dari persamaan linear. Setiap persamaan linear akan digambarkan sebagai sebuah garis lurus pada koordinat Kartesius. Titik potong antara kedua garis tersebut merupakan solusi dari SPLDV. Jika kedua garis sejajar, maka SPLDV tidak memiliki solusi. Jika kedua garis berimpit, maka SPLDV memiliki tak hingga solusi.

Langkah-langkah Menentukan HP SPLDV dengan Metode Grafik

Sekarang, mari kita bahas langkah-langkah detail untuk menentukan HP SPLDV dengan metode grafik. Kita akan menggunakan contoh soal yang diberikan untuk memudahkan pemahaman.

Contoh Soal

Tentukanlah HP dari SPLDV berikut dengan metode grafik, dan buatlah gambar grafiknya juga!

x - y = 4
x + 2y = 13

Langkah 1: Ubah Persamaan ke Bentuk y = mx + c

Langkah pertama adalah mengubah kedua persamaan ke dalam bentuk y = mx + c. Bentuk ini dikenal sebagai bentuk slope-intercept, di mana m adalah gradien (kemiringan) garis dan c adalah titik potong garis dengan sumbu-y. Mengubah persamaan ke bentuk ini akan memudahkan kita dalam menggambar grafiknya.

Untuk persamaan pertama:

x - y = 4
-y = -x + 4
y = x - 4

Jadi, persamaan pertama menjadi y = x - 4. Di sini, gradien m = 1 dan titik potong sumbu-y adalah c = -4.

Untuk persamaan kedua:

x + 2y = 13
2y = -x + 13
y = -1/2x + 13/2

Jadi, persamaan kedua menjadi y = -1/2x + 13/2. Di sini, gradien m = -1/2 dan titik potong sumbu-y adalah c = 13/2 atau 6.5.

Langkah 2: Tentukan Titik Potong dengan Sumbu-x dan Sumbu-y

Untuk menggambar garis, kita membutuhkan setidaknya dua titik. Cara termudah adalah dengan mencari titik potong garis dengan sumbu-x dan sumbu-y.

Persamaan 1: y = x - 4

Titik potong dengan sumbu-x (y = 0):
```
0 = x - 4
x = 4
```
Jadi, titik potong dengan sumbu-x adalah (4, 0).
Titik potong dengan sumbu-y (x = 0):
```
y = 0 - 4
y = -4
```
Jadi, titik potong dengan sumbu-y adalah (0, -4).

Persamaan 2: y = -1/2x + 13/2

Titik potong dengan sumbu-x (y = 0):
```
0 = -1/2x + 13/2
1/2x = 13/2
x = 13
```
Jadi, titik potong dengan sumbu-x adalah (13, 0).
Titik potong dengan sumbu-y (x = 0):
```
y = -1/2(0) + 13/2
y = 13/2 = 6.5
```
Jadi, titik potong dengan sumbu-y adalah (0, 6.5).

Langkah 3: Gambarlah Grafik

Sekarang kita sudah memiliki dua titik untuk setiap persamaan. Gambarlah koordinat Kartesius dan plot titik-titik tersebut. Kemudian, tarik garis lurus yang melewati kedua titik untuk setiap persamaan.

Garis 1: Hubungkan titik (4, 0) dan (0, -4).
Garis 2: Hubungkan titik (13, 0) dan (0, 6.5).

Langkah 4: Tentukan Titik Potong Kedua Garis

Setelah menggambar kedua garis, perhatikan titik potong antara kedua garis tersebut. Titik potong ini adalah solusi dari SPLDV. Dari grafik yang kita buat, titik potong kedua garis adalah (7, 3).

Langkah 5: Verifikasi Solusi

Untuk memastikan bahwa solusi yang kita dapatkan benar, kita perlu memverifikasi dengan mensubstitusikan nilai x dan y ke dalam kedua persamaan awal.

Persamaan 1: x - y = 4

Substitusikan x = 7 dan y = 3:

7 - 3 = 4
4 = 4 (Benar)

Persamaan 2: x + 2y = 13

Substitusikan x = 7 dan y = 3:

7 + 2(3) = 13
7 + 6 = 13
13 = 13 (Benar)

Karena kedua persamaan benar setelah disubstitusikan, maka solusi kita benar.

Kesimpulan

Jadi, himpunan penyelesaian (HP) dari SPLDV:

x - y = 4
x + 2y = 13

adalah {(7, 3)}. Ini berarti x = 7 dan y = 3 adalah solusi dari sistem persamaan tersebut.

Tips dan Trik Menggambar Grafik SPLDV

Berikut adalah beberapa tips dan trik yang bisa kalian gunakan saat menggambar grafik SPLDV:

Gunakan Kertas Grafik: Kertas grafik akan sangat membantu dalam menggambar garis lurus dengan lebih akurat. Garis-garis pada kertas grafik membantu kita memplot titik-titik dengan tepat.
Pilih Skala yang Sesuai: Pilih skala pada sumbu-x dan sumbu-y yang sesuai dengan rentang nilai titik-titik yang akan diplot. Jika nilai-nilai titiknya besar, gunakan skala yang lebih besar pula.
Gunakan Penggaris: Pastikan untuk menggunakan penggaris saat menarik garis lurus. Garis yang lurus dan rapi akan membuat grafik lebih mudah dibaca dan akurat.
Periksa Kembali Titik Potong: Setelah menggambar garis, periksa kembali titik potong dengan sumbu-x dan sumbu-y untuk memastikan tidak ada kesalahan dalam perhitungan atau plotting.
Gunakan Warna yang Berbeda: Jika kalian memiliki lebih dari dua persamaan, gunakan warna yang berbeda untuk setiap garis. Ini akan membantu membedakan garis-garis tersebut dan memudahkan dalam mencari titik potong.

Kasus Khusus dalam SPLDV

Selain kasus di mana SPLDV memiliki satu solusi, ada juga kasus-kasus khusus yang perlu kita ketahui.

1. SPLDV Tidak Memiliki Solusi

SPLDV tidak memiliki solusi jika kedua garis yang digambarkan sejajar. Garis sejajar memiliki gradien yang sama tetapi titik potong sumbu-y yang berbeda. Dalam kasus ini, tidak ada titik potong antara kedua garis, sehingga tidak ada solusi yang memenuhi kedua persamaan.

Contoh:

x + y = 2
x + y = 5

Kedua persamaan ini memiliki gradien yang sama (m = -1) tetapi titik potong sumbu-y yang berbeda (2 dan 5). Jika digambarkan, kedua garis akan sejajar dan tidak akan pernah berpotongan.

2. SPLDV Memiliki Tak Hingga Solusi

SPLDV memiliki tak hingga solusi jika kedua garis yang digambarkan berimpit. Garis berimpit adalah garis yang sama, sehingga setiap titik pada garis tersebut adalah solusi dari SPLDV. Dalam kasus ini, kedua persamaan sebenarnya adalah persamaan yang sama atau kelipatan dari satu sama lain.

Contoh:

2x + 4y = 6
x + 2y = 3

Jika kita bagi persamaan pertama dengan 2, kita akan mendapatkan persamaan kedua. Ini berarti kedua persamaan sebenarnya sama. Jika digambarkan, kedua garis akan berimpit dan setiap titik pada garis tersebut adalah solusi.

Kesimpulan Akhir

Metode grafik adalah cara yang sangat berguna untuk memahami dan menyelesaikan SPLDV secara visual. Dengan mengikuti langkah-langkah yang telah kita bahas, kalian dapat dengan mudah menentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV dan membuat gambar grafiknya. Jangan lupa untuk selalu memverifikasi solusi yang kalian dapatkan untuk memastikan kebenarannya.

Semoga panduan ini bermanfaat ya, guys! Jika ada pertanyaan, jangan ragu untuk bertanya. Selamat belajar dan sampai jumpa di pembahasan berikutnya! 😉