Expressão Equivalente De 4x² - 1/9 Qual A Forma Fatorada

by ADMIN 57 views

Ei, pessoal! Tudo bem? Hoje vamos mergulhar no mundo da álgebra para resolver um problema super interessante de fatoração. Preparem-se para desvendar os segredos por trás da expressão 4x2−19{4x^2 - \frac{1}{9}} e descobrir qual das opções apresentadas é a sua forma fatorada equivalente. Vamos nessa!

Desvendando a Expressão 4x2−19{4x^2 - \frac{1}{9}}

Quando nos deparamos com expressões algébricas como essa, é crucial identificar padrões que nos permitam simplificá-las ou fatorá-las. No caso de 4x2−19{4x^2 - \frac{1}{9}}, podemos notar que temos uma diferença entre dois termos, e ambos os termos parecem ser quadrados perfeitos. Essa observação nos leva a considerar a famosa fórmula da diferença de quadrados, que é uma ferramenta poderosa na fatoração. A fórmula da diferença de quadrados nos diz que:

a2−b2=(a−b)(a+b){a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)}

Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa expressão. Precisamos identificar quem são os termos a{a} e b{b} em 4x2−19{4x^2 - \frac{1}{9}}. Percebemos que:

  • 4x2{4x^2} pode ser visto como (2x)2{(2x)^2}, então a=2x{a = 2x}.
  • 19{\frac{1}{9}} pode ser visto como (13)2{(\frac{1}{3})^2}, então b=13{b = \frac{1}{3}}.

Com isso em mente, podemos reescrever nossa expressão usando a fórmula da diferença de quadrados:

4x2−19=(2x)2−(13)2=(2x−13)(2x+13){4x^2 - \frac{1}{9} = (2x)^2 - (\frac{1}{3})^2 = (2x - \frac{1}{3})(2x + \frac{1}{3})}

EURECA! Chegamos à forma fatorada da nossa expressão. Agora, vamos analisar as opções fornecidas para ver qual delas corresponde ao nosso resultado.

Analisando as Opções

As opções que temos são:

  • a) (2x−13)(2x+13){(2x - \frac{1}{3})(2x + \frac{1}{3})}
  • b) (4x−19)(1){(4x - \frac{1}{9})(1)}
  • c) (2x−13)2{(2x - \frac{1}{3})^2}
  • d) Nenhuma das anteriores

Comparando o nosso resultado (2x−13)(2x+13){(2x - \frac{1}{3})(2x + \frac{1}{3})} com as opções, vemos que a opção a) é exatamente o que encontramos! As outras opções não correspondem à forma fatorada correta da expressão.

  • A opção b) simplesmente multiplica a expressão original por 1, o que não altera o valor, mas não é uma fatoração.
  • A opção c) representa o quadrado de uma diferença, que seria (2x−13)(2x−13){(2x - \frac{1}{3})(2x - \frac{1}{3})}, e não é equivalente à nossa expressão.

Portanto, a resposta correta é a opção a). Conseguimos fatorar a expressão 4x2−19{4x^2 - \frac{1}{9}} utilizando a fórmula da diferença de quadrados e identificamos a sua forma fatorada equivalente.

A Importância da Fatoração em Matemática

A fatoração é uma habilidade fundamental em matemática, especialmente em álgebra. Ela nos permite simplificar expressões, resolver equações e analisar funções de forma mais eficiente. Ao fatorar uma expressão, estamos essencialmente reescrevendo-a como um produto de seus fatores. Isso pode revelar propriedades e padrões ocultos que não seriam aparentes na forma original.

Existem diversas técnicas de fatoração, e a escolha da técnica mais adequada depende do tipo de expressão que estamos trabalhando. Além da diferença de quadrados, outras técnicas comuns incluem:

  • Fatoração por fator comum: Identificar um fator comum a todos os termos da expressão e colocá-lo em evidência.
  • Agrupamento: Agrupar termos que compartilham fatores comuns e, em seguida, fatorar cada grupo.
  • Trinômio quadrado perfeito: Identificar um trinômio que pode ser expresso como o quadrado de um binômio.
  • Soma e diferença de cubos: Aplicar fórmulas específicas para fatorar expressões que envolvem a soma ou diferença de cubos.

A prática constante e a familiaridade com essas técnicas são essenciais para dominar a fatoração e aplicá-la em diversos contextos matemáticos.

Aplicações da Fatoração

A fatoração não é apenas uma ferramenta teórica; ela tem aplicações práticas em diversas áreas, como:

  • Resolução de equações: A fatoração pode ser usada para encontrar as raízes de uma equação polinomial.
  • Simplificação de frações algébricas: Fatorar o numerador e o denominador de uma fração pode ajudar a simplificá-la.
  • Cálculo de limites: Em cálculo, a fatoração pode ser usada para remover indeterminações ao calcular limites.
  • Modelagem matemática: A fatoração pode ser útil na construção de modelos matemáticos que descrevem fenômenos do mundo real.

Ao dominar a fatoração, você estará equipado com uma ferramenta poderosa para resolver problemas e entender conceitos em diversas áreas da matemática e suas aplicações.

Dica Extra: Visualizando a Diferença de Quadrados Geometricamente

Uma maneira interessante de entender a fórmula da diferença de quadrados é através de uma interpretação geométrica. Imagine um quadrado grande com lado a{a} e, dentro dele, um quadrado menor com lado b{b}. A área do quadrado maior é a2{a^2}, e a área do quadrado menor é b2{b^2}. A diferença entre essas áreas é a2−b2{a^2 - b^2}.

Agora, imagine que recortamos o quadrado menor do quadrado maior. O que sobra é uma figura com a forma de um "L". Podemos rearranjar essa figura em um retângulo com lados a−b{a - b} e a+b{a + b}. A área desse retângulo é (a−b)(a+b){(a - b)(a + b)}.

Como a área da figura original (o "L") é igual à área do retângulo rearranjado, temos uma representação visual da fórmula da diferença de quadrados: a2−b2=(a−b)(a+b){a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)}. Essa visualização pode ajudar a consolidar o entendimento da fórmula e sua aplicação.

Conclusão: Dominando a Fatoração para o Sucesso Matemático

E aí, pessoal! Chegamos ao fim da nossa jornada de fatoração. Vimos como identificar padrões, aplicar a fórmula da diferença de quadrados e encontrar a expressão fatorada equivalente de 4x2−19{4x^2 - \frac{1}{9}}. A chave para o sucesso na fatoração é a prática constante e a familiaridade com as diferentes técnicas. Lembrem-se, a fatoração é uma ferramenta poderosa que pode abrir portas para a resolução de problemas e a compreensão de conceitos em diversas áreas da matemática.

Espero que este artigo tenha sido útil e divertido! Continuem praticando, explorando e desvendando os mistérios da matemática. Até a próxima!