Domínio Da Função Real F(x) = 3x + 2 Uma Análise Completa

O domínio de uma função é um conceito fundamental na matemática, essencial para entender o comportamento e as limitações de uma função. Quando falamos da função real f(x) = 3x + 2, estamos explorando uma função linear simples, mas que nos permite discutir o que significa o domínio e como identificá-lo. Neste artigo, vamos mergulhar na análise do domínio dessa função específica, considerando as alternativas apresentadas e justificando a resposta correta de forma clara e detalhada.

Entendendo o Domínio de uma Função

Antes de abordarmos a função f(x) = 3x + 2, é crucial compreender o conceito de domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (x) para os quais a função produz uma saída real e definida. Em outras palavras, são todos os valores de x que podemos inserir na função sem que ela se torne indefinida ou produza um resultado que não seja um número real. As restrições ao domínio podem surgir de diversas situações, como divisões por zero, raízes quadradas de números negativos ou logaritmos de números não positivos.

No contexto das funções reais, estamos interessados em valores de x que resultem em valores de f(x) que também sejam números reais. Isso significa que precisamos evitar qualquer operação que possa nos levar a resultados imaginários ou indefinidos. Por exemplo, a função f(x) = 1/x não está definida para x = 0, pois a divisão por zero não é permitida. Da mesma forma, a função f(x) = √x só está definida para valores de x não negativos, pois a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.

Para funções polinomiais, como a que estamos analisando, a determinação do domínio é geralmente mais simples. Funções polinomiais são definidas para todos os números reais, o que significa que não há restrições de domínio a serem consideradas. Isso ocorre porque as operações envolvidas em um polinômio (adição, subtração, multiplicação e exponenciação por inteiros não negativos) são definidas para todos os números reais.

A Função f(x) = 3x + 2: Uma Análise Inicial

A função f(x) = 3x + 2 é uma função linear, um tipo de função polinomial de grau 1. Ela representa uma reta no plano cartesiano, e sua forma simples nos permite analisar facilmente seu domínio. A função envolve apenas duas operações: multiplicação de x por 3 e adição de 2. Ambas as operações são definidas para todos os números reais. Multiplicar qualquer número real por 3 resulta em outro número real, e adicionar 2 a qualquer número real também resulta em um número real. Portanto, não há nenhuma restrição inerente à função que impeça a entrada de qualquer número real.

Ao contrário de funções que envolvem divisões ou raízes, f(x) = 3x + 2 não apresenta pontos de indefinição. Não há nenhum valor de x que, ao ser inserido na função, resulte em uma operação matemática inválida. Isso significa que podemos substituir x por qualquer número real e sempre obter um valor real para f(x). Essa característica é típica de funções polinomiais de todos os graus, que são definidas em todo o conjunto dos números reais.

Analisando as Alternativas Apresentadas

Agora que entendemos o conceito de domínio e analisamos a função f(x) = 3x + 2, podemos examinar as alternativas apresentadas e determinar qual delas descreve corretamente o domínio da função:

A) Todos os números reais: Esta alternativa sugere que qualquer número real pode ser inserido na função f(x) = 3x + 2 sem gerar um resultado indefinido. Como discutimos anteriormente, essa é a característica das funções polinomiais, que não possuem restrições de domínio devido a divisões por zero ou raízes de números negativos. Portanto, esta alternativa parece promissora.

B) Apenas números inteiros: Esta alternativa restringe o domínio da função aos números inteiros (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...). Embora a função produza um valor real para qualquer inteiro inserido, ela também está definida para números não inteiros. Por exemplo, f(0.5) = 3(0.5) + 2 = 3.5, que é um número real. Portanto, esta alternativa é muito restritiva e não representa o domínio completo da função.

C) Números reais não negativos: Esta alternativa limita o domínio aos números reais maiores ou iguais a zero. Novamente, embora a função esteja definida para todos os números não negativos, ela também está definida para números negativos. Por exemplo, f(-1) = 3(-1) + 2 = -1, que é um número real. Portanto, esta alternativa também é muito restritiva e não descreve o domínio completo da função.

D) Números racionais apenas: Esta alternativa sugere que o domínio da função é restrito aos números racionais (números que podem ser expressos como uma fração p/q, onde p e q são inteiros e q ≠ 0). Assim como nas alternativas anteriores, a função está definida para todos os números racionais, mas também para números irracionais (números que não podem ser expressos como uma fração, como √2 ou π). Por exemplo, f(√2) = 3√2 + 2, que é um número real. Portanto, esta alternativa também não representa o domínio completo da função.

Justificativa da Resposta Correta: Alternativa A

A alternativa correta é a A) Todos os números reais. A função f(x) = 3x + 2 é uma função linear, e funções lineares são um tipo de função polinomial. Funções polinomiais são definidas para todos os números reais, o que significa que não há restrições ao domínio. Podemos inserir qualquer número real no lugar de x e sempre obter um resultado real para f(x).

Para reforçar essa justificativa, podemos considerar alguns exemplos:

• Se x = 0, f(0) = 3(0) + 2 = 2
• Se x = 1, f(1) = 3(1) + 2 = 5
• Se x = -1, f(-1) = 3(-1) + 2 = -1
• Se x = 0.5, f(0.5) = 3(0.5) + 2 = 3.5
• Se x = √2, f(√2) = 3√2 + 2

Em todos esses casos, a função produz um valor real. Não há nenhum valor de x que cause uma indefinição ou resulte em um número imaginário. Isso confirma que o domínio da função f(x) = 3x + 2 é, de fato, o conjunto de todos os números reais.

Conclusão

Em resumo, o domínio da função real f(x) = 3x + 2 é o conjunto de todos os números reais. Isso ocorre porque a função é uma função linear, um tipo de função polinomial que não possui restrições de domínio. Ao analisar as alternativas apresentadas, fica claro que apenas a alternativa A) descreve corretamente o domínio da função. Este exercício nos ajuda a reforçar a compreensão do conceito de domínio e como identificá-lo em diferentes tipos de funções.

Lembre-se sempre de considerar as possíveis restrições que podem surgir em funções que envolvem divisões, raízes ou logaritmos. No caso das funções polinomiais, no entanto, o domínio é geralmente o conjunto de todos os números reais, simplificando a análise.