Como Encontrar A Fração Geratriz Da Dízima 0,428571428571…?
E aí, pessoal! Tudo bem com vocês? Hoje vamos mergulhar no mundo fascinante das dízimas periódicas e descobrir como encontrar a fração geratriz daquela sequência numérica que parece não ter fim. Mais especificamente, vamos resolver o mistério da dízima 0,428571428571… e encontrar a fração que a originou. Preparados para essa aventura matemática?
O Enigma da Dízima 0,428571428571…
Quando nos deparamos com uma dízima periódica como 0,428571428571…, a primeira pergunta que surge é: qual fração se esconde por trás dessa sequência aparentemente infinita? Para desvendar esse enigma, precisamos entender o conceito de fração geratriz, que nada mais é do que a fração irredutível que dá origem a uma dízima periódica.
No caso da nossa dízima, o período, ou seja, o grupo de algarismos que se repete, é 428571. Essa repetição constante nos indica que estamos lidando com um número racional, que pode ser expresso como uma fração. Mas como encontrar essa fração?
A) 3/7: A Candidata Perfeita
Será que a alternativa A, 3/7, é a nossa fração geratriz? Para confirmar, podemos realizar a divisão de 3 por 7. Se o resultado for 0,428571428571…, bingo! Encontramos a fração que procurávamos.
Ao dividirmos 3 por 7, obtemos exatamente 0,428571428571… Portanto, a alternativa A é a correta! Mas não vamos parar por aqui. Vamos entender o passo a passo de como chegar a essa fração para que você possa aplicar esse conhecimento em outros casos.
B) 4/9: Uma Distração Inteligente
A alternativa B, 4/9, pode parecer tentadora, mas ao realizarmos a divisão, vemos que ela resulta em 0,444444…, uma dízima periódica diferente da que estamos buscando. Essa alternativa serve como uma distração inteligente, para testar se realmente compreendemos o período da dízima.
C) 5/12: Quase Lá, Mas Não Exato
Já a alternativa C, 5/12, resulta em 0,416666…, que também é uma dízima periódica, mas com um período diferente. Essa alternativa nos mostra a importância de identificar corretamente o período da dízima para encontrar a fração geratriz correta.
D) 2/5: Uma Opção Enganosa
Por fim, a alternativa D, 2/5, é igual a 0,4, um número decimal exato, e não uma dízima periódica. Essa opção serve para nos lembrar que nem todo número decimal é uma dízima periódica.
O Método Secreto para Encontrar a Fração Geratriz
Agora que já sabemos a resposta correta, vamos desvendar o método secreto para encontrar a fração geratriz de qualquer dízima periódica. Esse método envolve alguns passos simples, mas que exigem atenção e cuidado.
- Identifique o período: O primeiro passo é identificar o período da dízima, ou seja, o grupo de algarismos que se repete. No nosso caso, o período é 428571.
- Chame a dízima de x: Vamos chamar a dízima periódica de x. Assim, temos x = 0,428571428571…
- Multiplique por uma potência de 10: Multiplique ambos os lados da equação por uma potência de 10 que tenha o mesmo número de algarismos do período. Como o período tem 6 algarismos, vamos multiplicar por 1000000 (1 milhão). Assim, temos 1000000x = 428571,428571…
- Subtraia a equação original: Subtraia a equação original (x = 0,428571428571…) da nova equação (1000000x = 428571,428571…). Isso eliminará a parte decimal repetitiva: 1000000x - x = 428571,428571… - 0,428571428571… 999999x = 428571
- Isole o x: Divida ambos os lados da equação por 999999 para isolar o x: x = 428571 / 999999
- Simplifique a fração: Simplifique a fração resultante para encontrar a fração geratriz irredutível. No nosso caso, podemos simplificar a fração 428571/999999 dividindo ambos os termos por 142857, que é o máximo divisor comum entre eles. Isso nos dá: x = 3/7
A Confirmação Final: 3/7 é a Fração Geratriz!
EUREKA! Chegamos à fração 3/7, a mesma que encontramos ao dividir 3 por 7 no início da nossa jornada. Esse método nos permite confirmar que 3/7 é, de fato, a fração geratriz da dízima periódica 0,428571428571…
Dízimas Periódicas: Um Universo Matemático Fascinante
As dízimas periódicas são um universo matemático fascinante, que nos mostram a beleza e a complexidade dos números racionais. Dominar o método para encontrar a fração geratriz é uma habilidade valiosa, que nos permite compreender melhor as relações entre números decimais e frações.
Lembrem-se, a chave para o sucesso na matemática é a prática constante e a busca por compreender os conceitos por trás das fórmulas. Então, não hesitem em explorar outras dízimas periódicas e aplicar o método que aprendemos hoje. Com dedicação e curiosidade, vocês se tornarão verdadeiros experts em frações geratrizes!
Conclusão: Desvendamos o Mistério! (Com dicas extras, galera!)
E assim, galera, desvendamos o mistério da fração geratriz da dízima 0,428571428571…! Vimos que a resposta correta é 3/7 e aprendemos um método infalível para encontrar a fração geratriz de qualquer dízima periódica. Mas, ei, a jornada não termina aqui! Que tal explorarmos algumas dicas extras para turbinar ainda mais seus conhecimentos sobre dízimas periódicas e frações geratrizes?
Dica #1: Simplifique, Simplifique, Simplifique!
Depois de encontrar a fração, não se esqueça de simplificá-la ao máximo. Isso significa encontrar o máximo divisor comum (MDC) entre o numerador e o denominador e dividir ambos por ele. Uma fração simplificada é mais elegante e fácil de trabalhar!
Dica #2: De Olho no Período!
Identificar o período corretamente é crucial. Se você errar o período, todo o resto do cálculo estará comprometido. Observe atentamente qual é o padrão que se repete na dízima. Em alguns casos, pode haver um
