Como Calcular O Valor De T Para Pontos Colineares A(1,2), B(3,8) E C(t,0)

E aí, pessoal! Tudo bem com vocês? Hoje vamos mergulhar em um problema super interessante de geometria analítica que envolve pontos colineares. A questão é a seguinte: temos três pontos, A(1,2), B(3,8) e C(t,0), e queremos descobrir qual é o valor de t que garante que esses pontos estejam alinhados, ou seja, na mesma reta. Parece complicado? Relaxa, vamos desmistificar isso juntos!

O Que Significa Pontos Colineares?

Antes de tudo, é fundamental entendermos o conceito de colinearidade. Imagine uma reta infinita. Pontos colineares são aqueles que, quando desenhados em um plano cartesiano, se encontram exatamente sobre essa mesma reta. Em outras palavras, eles compartilham a mesma inclinação. E é justamente essa inclinação que será nossa chave para resolver o problema!

Inclinação: A Alma da Reta

A inclinação de uma reta, também conhecida como coeficiente angular, nada mais é do que a medida da sua inclinação em relação ao eixo horizontal (eixo x). Ela nos diz o quão "íngreme" a reta é. Matematicamente, a inclinação (geralmente representada pela letra m) entre dois pontos (x₁, y₁) e (x₂, y₂) é calculada pela seguinte fórmula:

m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

Essa fórmula é essencial para entendermos como os pontos se relacionam em uma reta. Se a inclinação entre dois pares de pontos é a mesma, bingo! Eles são colineares.

Calculando a Inclinação Entre A e B

Vamos começar calculando a inclinação entre os pontos A(1,2) e B(3,8). Usando a fórmula que aprendemos, temos:

m_AB = (8 - 2) / (3 - 1) = 6 / 2 = 3

Então, a inclinação da reta que passa por A e B é 3. Isso significa que, para cada unidade que avançamos no eixo x, a reta sobe 3 unidades no eixo y. Agora, essa informação é crucial para descobrirmos o valor de t.

A Inclinação Entre A e C: Nossa Chave para o Valor de t

Para que os pontos A, B e C sejam colineares, a inclinação entre A e C (m_AC) deve ser exatamente igual à inclinação entre A e B (m_AB). Ou seja, precisamos que m_AC seja igual a 3. Vamos calcular m_AC usando a mesma fórmula, mas agora com os pontos A(1,2) e C(t,0):

m_AC = (0 - 2) / (t - 1) = -2 / (t - 1)

Agora, igualamos m_AC a 3:

3 = -2 / (t - 1)

E agora, pessoal, temos uma equação simples para resolver! Vamos multiplicar ambos os lados por (t - 1):

3(t - 1) = -2

Expandindo, temos:

3t - 3 = -2

Somando 3 a ambos os lados:

3t = 1

Finalmente, dividindo por 3:

t = 1/3

Oops! Parece que cometemos um pequeno deslize. Vamos refazer as contas com calma para garantir que tudo esteja correto. A igualdade que estabelecemos é fundamental: a inclinação entre A e C deve ser igual à inclinação entre A e B.

Refazendo os cálculos:

3 = -2 / (t - 1)
3(t - 1) = -2
3t - 3 = -2
3t = 1
t = 1/3

Percebemos que houve um erro na transcrição das alternativas. O valor correto de t que encontramos é 1/3, e essa opção não está presente nas alternativas fornecidas. Vamos verificar o enunciado e os cálculos mais uma vez para ter certeza.

Após uma revisão cuidadosa, identificamos que o erro não está nos cálculos, mas sim na interpretação das alternativas ou em um possível erro no enunciado original. O valor de t que torna os pontos A(1,2), B(3,8) e C(t,0) colineares é, de fato, 1/3.

Uma Abordagem Alternativa: Determinantes

Existe outra forma elegante de resolver esse problema, utilizando determinantes. Três pontos são colineares se, e somente se, o determinante da matriz formada por suas coordenadas (com uma coluna adicional de 1s) for igual a zero. A matriz seria:

| 1  2  1 |
| 3  8  1 |
| t  0  1 |

O determinante dessa matriz é calculado da seguinte forma:

Determinante = (1 * 8 * 1) + (2 * 1 * t) + (1 * 3 * 0) - (1 * 8 * t) - (1 * 1 * 1) - (2 * 3 * 1)

Simplificando:

Determinante = 8 + 2t + 0 - 8t - 1 - 6
Determinante = 1 - 6t

Para que os pontos sejam colineares, o determinante deve ser zero:

1 - 6t = 0
6t = 1
t = 1/6

Ops! Parece que temos uma nova divergência. Utilizando o método dos determinantes, encontramos t = 1/6, enquanto com o método da inclinação, encontramos t = 1/3. Vamos analisar minuciosamente ambos os métodos para identificar a fonte da inconsistência.

Revisão Detalhada do Método da Inclinação

Revisando o método da inclinação, temos:

m_AB = (8 - 2) / (3 - 1) = 6 / 2 = 3
m_AC = (0 - 2) / (t - 1) = -2 / (t - 1)

Igualando as inclinações:

3 = -2 / (t - 1)
3(t - 1) = -2
3t - 3 = -2
3t = 1
t = 1/3

Até aqui, tudo parece correto. O erro não está no desenvolvimento da equação.

Revisão Detalhada do Método dos Determinantes

Agora, vamos revisar o cálculo do determinante:

| 1  2  1 |
| 3  8  1 |
| t  0  1 |

Determinante = (1 * 8 * 1) + (2 * 1 * t) + (1 * 3 * 0) - (t * 8 * 1) - (0 * 1 * 1) - (1 * 3 * 2)
Determinante = 8 + 2t + 0 - 8t - 0 - 6
Determinante = 2 - 6t

Ah-ha! Encontramos o erro! Houve um pequeno equívoco na simplificação do determinante. O correto é:

Determinante = 2 - 6t

Agora, igualando a zero:

2 - 6t = 0
6t = 2
t = 2/6
t = 1/3

Ufa! Que alívio! Ambos os métodos convergem agora para o mesmo resultado: t = 1/3. Isso reforça a importância de revisar cada passo cuidadosamente para evitar erros bobos.

Conclusão: t = 1/3 Garante a Colinearidade

Depois de uma jornada repleta de cálculos, revisões e até mesmo alguns pequenos sustos, chegamos à conclusão de que o valor de t que garante que os pontos A(1,2), B(3,8) e C(t,0) sejam colineares é 1/3. Essa aventura nos mostrou a beleza da geometria analítica e a importância de dominar conceitos como inclinação e determinantes. E, claro, nos lembrou que a persistência e a revisão cuidadosa são nossas maiores aliadas na resolução de problemas!

Espero que tenham gostado de desvendar esse mistério comigo. Se tiverem alguma dúvida ou quiserem explorar outros desafios matemáticos, deixem seus comentários abaixo. Até a próxima, pessoal! E lembrem-se: a matemática pode ser desafiadora, mas também é incrivelmente divertida!

Keywords

Pontos colineares, inclinação, determinantes, geometria analítica, valor de t.