Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Faktorisasi Lengkap Dengan Contoh Soal

by ADMIN 83 views

Hai teman-teman! 👋 Pernahkah kalian merasa persamaan kuadrat itu menakutkan? Jangan khawatir, karena di artikel ini, kita akan membahas cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan metode faktorisasi yang mudah dipahami. Faktorisasi adalah cara yang ampuh untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat, dan dengan latihan yang cukup, kalian akan menguasainya dalam waktu singkat. Yuk, kita mulai!

Apa Itu Persamaan Kuadrat?

Sebelum kita masuk ke metode faktorisasi, mari kita pahami dulu apa itu persamaan kuadrat. Secara umum, persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua. Bentuk umumnya adalah:

ax² + bx + c = 0

Di mana:

  • a, b, dan c adalah koefisien, dengan a ≠ 0
  • x adalah variabel yang ingin kita cari nilainya

Akar-akar persamaan kuadrat adalah nilai-nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Dengan kata lain, jika kita substitusikan akar-akar ini ke dalam persamaan, hasilnya akan menjadi nol. Persamaan kuadrat dapat memiliki dua akar nyata, satu akar nyata (akar ganda), atau tidak memiliki akar nyata sama sekali (akar imajiner).

Mengapa Faktorisasi?

Faktorisasi adalah salah satu metode untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat. Metode ini melibatkan pengubahan persamaan kuadrat menjadi bentuk perkalian dua binomial. Jika kita berhasil memfaktorkan persamaan kuadrat, kita dapat dengan mudah mencari akar-akarnya dengan membuat masing-masing faktor sama dengan nol. Metode faktorisasi sangat berguna jika persamaan kuadrat dapat difaktorkan dengan mudah. Namun, tidak semua persamaan kuadrat dapat difaktorkan dengan mudah, sehingga metode lain seperti rumus kuadrat mungkin diperlukan.

Langkah-Langkah Faktorisasi

Berikut adalah langkah-langkah umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan faktorisasi:

  1. Pastikan persamaan kuadrat dalam bentuk umum:

    ax² + bx + c = 0

    Jika persamaan belum dalam bentuk ini, susun ulang suku-sukunya.

  2. Cari dua bilangan yang hasil perkaliannya sama dengan ac dan hasil penjumlahannya sama dengan b.

    Ini adalah langkah kunci dalam faktorisasi. Kita perlu mencari dua bilangan yang memenuhi kedua kondisi ini. Misalkan bilangan-bilangan tersebut adalah p dan q. Maka:

    • p × q = ac
    • p + q = b

  3. Ubah suku bx menjadi px + qx.

    Setelah kita menemukan bilangan p dan q, kita dapat mengganti suku bx dalam persamaan kuadrat dengan px + qx. Persamaan kita sekarang akan terlihat seperti ini:

    ax² + px + qx + c = 0

  4. Kelompokkan suku-suku dan faktorkan setiap kelompok.

    Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir, lalu faktorkan masing-masing kelompok. Kita akan mendapatkan bentuk seperti ini:

    x(ax + p) + q(x + r) = 0

  5. Faktorkan faktor yang sama.

    Jika kita berhasil, kita akan melihat bahwa ada faktor yang sama di kedua suku. Faktorkan faktor yang sama ini. Kita akan mendapatkan bentuk seperti ini:

    (x + m)(x + n) = 0

  6. Buat masing-masing faktor sama dengan nol dan selesaikan untuk x.

    Untuk mencari akar-akar persamaan, kita buat masing-masing faktor sama dengan nol:

    • x + m = 0 → x = -m
    • x + n = 0 → x = -n

    Jadi, akar-akar persamaan kuadrat adalah x = -m dan x = -n.

Contoh Soal dan Pembahasan

Mari kita terapkan langkah-langkah faktorisasi ini pada beberapa contoh soal:

a. x² - 7x + 6 = 0

  1. Persamaan sudah dalam bentuk umum.

  2. Kita cari dua bilangan yang hasil perkaliannya 6 (1 × 6) dan hasil penjumlahannya -7. Bilangan-bilangan tersebut adalah -1 dan -6.

  3. Kita ubah suku -7x menjadi -x - 6x:

    x² - x - 6x + 6 = 0

  4. Kita kelompokkan suku-suku dan faktorkan setiap kelompok:

    x(x - 1) - 6(x - 1) = 0

  5. Kita faktorkan faktor yang sama (x - 1):

    (x - 1)(x - 6) = 0

  6. Kita buat masing-masing faktor sama dengan nol:

    • x - 1 = 0 → x = 1
    • x - 6 = 0 → x = 6

    Jadi, akar-akar persamaan x² - 7x + 6 = 0 adalah x = 1 dan x = 6.

b. x² - 2x + 1 = 0

  1. Persamaan sudah dalam bentuk umum.

  2. Kita cari dua bilangan yang hasil perkaliannya 1 (1 × 1) dan hasil penjumlahannya -2. Bilangan-bilangan tersebut adalah -1 dan -1.

  3. Kita ubah suku -2x menjadi -x - x:

    x² - x - x + 1 = 0

  4. Kita kelompokkan suku-suku dan faktorkan setiap kelompok:

    x(x - 1) - 1(x - 1) = 0

  5. Kita faktorkan faktor yang sama (x - 1):

    (x - 1)(x - 1) = 0

  6. Kita buat masing-masing faktor sama dengan nol:

    • x - 1 = 0 → x = 1

    Jadi, persamaan x² - 2x + 1 = 0 memiliki akar ganda x = 1.

c. x² + 3x – 4 = 0

  1. Persamaan sudah dalam bentuk umum.

  2. Kita cari dua bilangan yang hasil perkaliannya -4 (1 × -4) dan hasil penjumlahannya 3. Bilangan-bilangan tersebut adalah 4 dan -1.

  3. Kita ubah suku 3x menjadi 4x - x:

    x² + 4x - x - 4 = 0

  4. Kita kelompokkan suku-suku dan faktorkan setiap kelompok:

    x(x + 4) - 1(x + 4) = 0

  5. Kita faktorkan faktor yang sama (x + 4):

    (x - 1)(x + 4) = 0

  6. Kita buat masing-masing faktor sama dengan nol:

    • x - 1 = 0 → x = 1
    • x + 4 = 0 → x = -4

    Jadi, akar-akar persamaan x² + 3x – 4 = 0 adalah x = 1 dan x = -4.

d. 48 - 2x - x² = 0

  1. Kita ubah persamaan ke bentuk umum: -x² - 2x + 48 = 0. Agar lebih mudah, kita kalikan seluruh persamaan dengan -1: x² + 2x - 48 = 0.

  2. Kita cari dua bilangan yang hasil perkaliannya -48 (1 × -48) dan hasil penjumlahannya 2. Bilangan-bilangan tersebut adalah 8 dan -6.

  3. Kita ubah suku 2x menjadi 8x - 6x:

    x² + 8x - 6x - 48 = 0

  4. Kita kelompokkan suku-suku dan faktorkan setiap kelompok:

    x(x + 8) - 6(x + 8) = 0

  5. Kita faktorkan faktor yang sama (x + 8):

    (x - 6)(x + 8) = 0

  6. Kita buat masing-masing faktor sama dengan nol:

    • x - 6 = 0 → x = 6
    • x + 8 = 0 → x = -8

    Jadi, akar-akar persamaan 48 - 2x - x² = 0 adalah x = 6 dan x = -8.

e. 10 + 7x + x² = 0

  1. Persamaan sudah dalam bentuk umum.

  2. Kita cari dua bilangan yang hasil perkaliannya 10 (1 × 10) dan hasil penjumlahannya 7. Bilangan-bilangan tersebut adalah 2 dan 5.

  3. Kita ubah suku 7x menjadi 2x + 5x:

    x² + 2x + 5x + 10 = 0

  4. Kita kelompokkan suku-suku dan faktorkan setiap kelompok:

    x(x + 2) + 5(x + 2) = 0

  5. Kita faktorkan faktor yang sama (x + 2):

    (x + 2)(x + 5) = 0

  6. Kita buat masing-masing faktor sama dengan nol:

    • x + 2 = 0 → x = -2
    • x + 5 = 0 → x = -5

    Jadi, akar-akar persamaan 10 + 7x + x² = 0 adalah x = -2 dan x = -5.

f. x² - 4 = 0

  1. Persamaan sudah dalam bentuk umum. Ini adalah selisih dua kuadrat, yang dapat difaktorkan sebagai (x - a)(x + a), di mana a² = 4.

  2. Dalam hal ini, a = 2, jadi kita dapat memfaktorkan persamaan sebagai:

    (x - 2)(x + 2) = 0

  3. Kita buat masing-masing faktor sama dengan nol:

    • x - 2 = 0 → x = 2
    • x + 2 = 0 → x = -2

    Jadi, akar-akar persamaan x² - 4 = 0 adalah x = 2 dan x = -2.

g. x² - 9 = 0

  1. Persamaan sudah dalam bentuk umum. Ini juga merupakan selisih dua kuadrat, di mana a² = 9.

  2. Dalam hal ini, a = 3, jadi kita dapat memfaktorkan persamaan sebagai:

    (x - 3)(x + 3) = 0

  3. Kita buat masing-masing faktor sama dengan nol:

    • x - 3 = 0 → x = 3
    • x + 3 = 0 → x = -3

    Jadi, akar-akar persamaan x² - 9 = 0 adalah x = 3 dan x = -3.

h. 3x - x² = 0

  1. Kita ubah persamaan ke bentuk umum: -x² + 3x = 0. Kita kalikan seluruh persamaan dengan -1: x² - 3x = 0.

  2. Kita faktorkan x dari kedua suku:

    x(x - 3) = 0

  3. Kita buat masing-masing faktor sama dengan nol:

    • x = 0
    • x - 3 = 0 → x = 3

    Jadi, akar-akar persamaan 3x - x² = 0 adalah x = 0 dan x = 3.

i. x² + 10x = 0

  1. Persamaan sudah dalam bentuk umum.

  2. Kita faktorkan x dari kedua suku:

    x(x + 10) = 0

  3. Kita buat masing-masing faktor sama dengan nol:

    • x = 0
    • x + 10 = 0 → x = -10

    Jadi, akar-akar persamaan x² + 10x = 0 adalah x = 0 dan x = -10.

Tips dan Trik

  • Latihan, latihan, latihan! Semakin banyak kalian berlatih, semakin mudah kalian melihat pola faktorisasi.
  • Perhatikan tanda. Tanda-tanda koefisien dapat memberikan petunjuk tentang tanda-tanda akar.
  • Selalu periksa jawaban kalian. Setelah kalian menemukan akar-akar, substitusikan kembali ke persamaan asli untuk memastikan bahwa mereka memenuhi persamaan tersebut.

Kesimpulan

Faktorisasi adalah metode yang berguna untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, terutama jika persamaan tersebut dapat difaktorkan dengan mudah. Dengan mengikuti langkah-langkah yang telah kita bahas dan banyak berlatih, kalian akan menjadi ahli dalam faktorisasi persamaan kuadrat. Jangan menyerah jika kalian merasa kesulitan di awal. Teruslah mencoba, dan kalian pasti bisa! 💪

Semoga artikel ini bermanfaat, guys! Jika kalian memiliki pertanyaan atau ingin berbagi pengalaman, jangan ragu untuk meninggalkan komentar di bawah. Sampai jumpa di artikel berikutnya! 👋