Calculando A17 Em Progressão Aritmética Com A5 E A9

Jul 29, 2025 by ADMIN 52 views

Calculando o Termo a17 em uma Progressão Aritmética Dados a5 e a9

Ei, pessoal! Tudo bem com vocês? Hoje vamos mergulhar em um problema super interessante de progressão aritmética (PA). Imagine a seguinte situação: temos uma PA onde o quinto termo (a5) é igual a 19 e o nono termo (a9) é igual a 31. Nosso desafio é descobrir qual é o décimo sétimo termo (a17) dessa progressão. Parece complicado? Calma, vamos desmistificar isso juntos!

O Que é Uma Progressão Aritmética?

Antes de começarmos a resolver o problema, vamos relembrar o conceito básico de progressão aritmética. Uma PA é uma sequência de números onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão (r) da PA. Por exemplo, na sequência 2, 4, 6, 8, 10, a razão é 2, pois cada termo é obtido somando 2 ao termo anterior.

Para entendermos melhor, podemos expressar um termo qualquer de uma PA pela seguinte fórmula:

an = a1 + (n - 1) * r

Onde:

an é o termo que queremos encontrar;
a1 é o primeiro termo da PA;
n é a posição do termo na sequência;
r é a razão da PA.

Agora que já relembramos o conceito de PA e sua fórmula geral, podemos voltar ao nosso problema inicial e começar a resolvê-lo passo a passo.

Desvendando o Problema: Encontrando a Razão (r)

No nosso problema, temos as seguintes informações:

a5 = 19
a9 = 31
Queremos encontrar a17

O primeiro passo para resolver esse problema é encontrar a razão (r) da PA. Para isso, podemos usar a fórmula geral da PA e as informações que temos sobre a5 e a9.

Sabemos que:

a5 = a1 + 4r
a9 = a1 + 8r

Substituindo os valores conhecidos, temos o seguinte sistema de equações:

19 = a1 + 4r
31 = a1 + 8r

Podemos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a1 e r. Uma forma de fazer isso é subtrair a primeira equação da segunda:

31 - 19 = (a1 + 8r) - (a1 + 4r)

12 = 4r

r = 3

Ufa! Já encontramos a razão da nossa PA. Agora sabemos que r = 3. Isso significa que a diferença entre cada termo consecutivo da PA é 3.

Encontrando o Primeiro Termo (a1)

Agora que já temos a razão (r), podemos encontrar o primeiro termo (a1) da PA. Para isso, podemos usar qualquer uma das equações que montamos anteriormente. Vamos usar a primeira:

19 = a1 + 4r

Substituindo o valor de r, temos:

19 = a1 + 4 * 3

19 = a1 + 12

a1 = 19 - 12

a1 = 7

Maravilha! Descobrimos que o primeiro termo da PA é a1 = 7. Agora temos todas as informações necessárias para encontrar o termo a17.

Calculando o Termo a17

Agora que conhecemos o primeiro termo (a1 = 7) e a razão (r = 3), podemos usar a fórmula geral da PA para calcular o termo a17:

a17 = a1 + (17 - 1) * r

a17 = 7 + 16 * 3

a17 = 7 + 48

a17 = 55

EUREKA! Encontramos o valor do décimo sétimo termo da PA: a17 = 55.

Conclusão: A Beleza da Progressão Aritmética

E aí, pessoal? Viram como não era tão complicado assim? Através de alguns passos simples e utilizando a fórmula geral da progressão aritmética, conseguimos desvendar esse problema e encontrar o termo a17. As PAs são ferramentas matemáticas poderosas que nos ajudam a entender e modelar diversas situações do mundo real. Desde o cálculo de juros em investimentos até a previsão de crescimento populacional, as aplicações são inúmeras.

Espero que este artigo tenha sido útil para vocês e que tenham aprendido algo novo sobre progressões aritméticas. Se tiverem alguma dúvida ou quiserem explorar outros problemas, deixem seus comentários abaixo. E não se esqueçam de praticar bastante para ficarem craques em matemática!

E aí, pessoal! Preparados para mais um desafio matemático? Hoje, vamos mergulhar no mundo das progressões aritméticas (PAs) e aprender como calcular um termo específico, o a17, quando temos informações sobre outros termos, como o a5 e o a9. Se você já se perguntou como resolver problemas desse tipo, este artigo é para você! Vamos juntos desvendar os segredos das PAs e dominar essa ferramenta matemática poderosa.

O Que Torna Uma Progressão Aritmética Tão Especial?

Antes de partirmos para os cálculos, vamos reforçar o conceito de progressão aritmética. Imagine uma sequência de números que segue um padrão bem definido: a diferença entre cada termo e o seu antecessor é sempre a mesma. Essa diferença constante é o que chamamos de razão (r) da PA. Pense em uma escada, onde cada degrau tem a mesma altura; essa altura seria a razão da nossa PA.

Para expressar essa ideia matematicamente, usamos a fórmula geral da PA:

an = a1 + (n - 1) * r

Onde:

an representa o termo que queremos encontrar (o nosso "alvo");
a1 é o primeiro termo da PA (o ponto de partida);
n é a posição do termo na sequência (o número do degrau que queremos alcançar);
r é a razão da PA (a altura de cada degrau).

Com essa fórmula em mãos, podemos desvendar qualquer termo de uma PA, desde que tenhamos as informações necessárias. Mas e quando temos apenas alguns termos e precisamos encontrar outros? É aí que a mágica acontece! Vamos voltar ao nosso problema inicial e descobrir como calcular o a17 a partir do a5 e do a9.

Rastreando a Razão: O Primeiro Passo Para Desvendar o a17

No nosso problema, somos presenteados com as seguintes pistas:

O quinto termo (a5) é igual a 19.
O nono termo (a9) é igual a 31.
Nosso objetivo é encontrar o décimo sétimo termo (a17).

O primeiro passo crucial é descobrir a razão (r) da PA. Para isso, vamos usar a fórmula geral da PA e as informações que temos sobre o a5 e o a9. Podemos escrever as seguintes equações:

a5 = a1 + 4r (Lembre-se: a5 é o primeiro termo mais 4 vezes a razão)
a9 = a1 + 8r (a9 é o primeiro termo mais 8 vezes a razão)

Substituindo os valores conhecidos, transformamos as equações em:

19 = a1 + 4r
31 = a1 + 8r

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (a1 e r). Existem diversas maneiras de resolver esse sistema, mas uma das mais eficientes é o método da subtração. Vamos subtrair a primeira equação da segunda:

31 - 19 = (a1 + 8r) - (a1 + 4r)

Simplificando a equação, chegamos a:

12 = 4r

Dividindo ambos os lados por 4, finalmente encontramos a razão:

r = 3

Que alegria! Descobrimos que a razão da nossa PA é 3. Isso significa que a cada termo que avançamos na sequência, somamos 3 ao valor anterior. Agora, podemos usar essa informação para encontrar o primeiro termo (a1) e, finalmente, o nosso tão esperado a17.

Desvendando o Primeiro Termo: O Alicerce da Nossa PA

Com a razão (r = 3) em mãos, podemos voltar a uma das nossas equações originais e usá-la para encontrar o primeiro termo (a1). Vamos usar a primeira equação:

19 = a1 + 4r

Substituindo o valor de r, temos:

19 = a1 + 4 * 3

19 = a1 + 12

Para isolar o a1, subtraímos 12 de ambos os lados:

a1 = 19 - 12

a1 = 7

Excelente! Descobrimos que o primeiro termo da nossa PA é a1 = 7. Agora, temos todos os ingredientes necessários para calcular o a17: o primeiro termo, a razão e a posição do termo que queremos encontrar.

O Grande Final: Calculando o Termo a17 e Celebrando a Matemática

Chegou o momento de usar a fórmula geral da PA para calcular o a17. Vamos relembrar a fórmula:

an = a1 + (n - 1) * r

No nosso caso, queremos encontrar o a17, então n = 17. Já sabemos que a1 = 7 e r = 3. Substituindo esses valores na fórmula, temos:

a17 = 7 + (17 - 1) * 3

a17 = 7 + 16 * 3

a17 = 7 + 48

a17 = 55

Parabéns! Conseguimos calcular o décimo sétimo termo da nossa PA: a17 = 55. Vimos como, a partir de algumas informações iniciais, podemos usar a fórmula geral da PA e um pouco de álgebra para desvendar qualquer termo da sequência.

A Progressão Aritmética no Dia a Dia: Mais do Que Números em Sequência

E aí, pessoal? Gostaram da nossa jornada pelo mundo das PAs? Espero que este artigo tenha ajudado vocês a entender melhor como funcionam essas sequências numéricas tão importantes na matemática. Mas as progressões aritméticas não são apenas um conceito abstrato; elas estão presentes em diversas situações do nosso dia a dia. Pense em um programa de treinamento físico, onde você aumenta a carga de exercícios a cada semana; isso pode ser modelado como uma PA. Ou então, imagine o crescimento de uma planta, que aumenta sua altura em uma quantidade constante a cada dia; mais uma aplicação das PAs!

Ao dominar as progressões aritméticas, vocês estão adquirindo uma ferramenta poderosa para resolver problemas e entender o mundo ao seu redor. Então, não parem por aqui! Continuem praticando, explorando e descobrindo a beleza da matemática. E se tiverem alguma dúvida ou quiserem compartilhar suas experiências, deixem seus comentários abaixo. Até a próxima!

E aí, pessoal! Tudo certo? Hoje, vamos embarcar em uma aventura matemática para desvendar um problema clássico de progressão aritmética (PA). Imagine que você tem uma PA e sabe que o quinto termo (a5) é 19 e o nono termo (a9) é 31. O desafio é: como calcular o décimo sétimo termo (a17)? Se você está se sentindo um pouco perdido, não se preocupe! Este guia passo a passo vai te ajudar a dominar esse tipo de problema e se tornar um mestre das PAs.

Progressão Aritmética: A Essência da Sequência Regular

Antes de mergulharmos nos cálculos, vamos relembrar o que torna uma progressão aritmética tão especial. Uma PA é uma sequência de números onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é o que chamamos de razão (r) da PA. Pense em uma fila de cadeiras em um teatro, onde cada cadeira está a uma distância igual da anterior; essa distância seria a razão da nossa PA.

A fórmula que define o comportamento de uma PA é a seguinte:

an = a1 + (n - 1) * r

Onde:

an é o termo que queremos encontrar (o nosso objetivo final);
a1 é o primeiro termo da PA (o ponto de partida);
n é a posição do termo na sequência (o número do passo que queremos dar);
r é a razão da PA (o tamanho de cada passo).

Com essa fórmula em mãos, podemos navegar por qualquer PA, desde que tenhamos as informações corretas. No nosso problema, temos o a5 e o a9, mas precisamos do a17. Como podemos usar essas informações para chegar ao nosso destino? Vamos descobrir!

Desvendando a Razão: A Chave Para Desbloquear o a17

No nosso desafio, somos presenteados com as seguintes informações:

O quinto termo (a5) é igual a 19.
O nono termo (a9) é igual a 31.
Nossa missão é encontrar o décimo sétimo termo (a17).

O primeiro passo crucial é encontrar a razão (r) da PA. Para isso, vamos usar a fórmula geral da PA e as informações que temos sobre o a5 e o a9. Podemos escrever as seguintes equações:

a5 = a1 + 4r (Lembre-se: o a5 é o primeiro termo mais 4 vezes a razão)
a9 = a1 + 8r (O a9 é o primeiro termo mais 8 vezes a razão)

Substituindo os valores conhecidos, transformamos as equações em:

19 = a1 + 4r
31 = a1 + 8r

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (a1 e r). Para resolver esse sistema, podemos usar o método da substituição, o método da adição ou, como vamos fazer aqui, o método da subtração. Vamos subtrair a primeira equação da segunda:

31 - 19 = (a1 + 8r) - (a1 + 4r)

Simplificando a equação, chegamos a:

12 = 4r

Dividindo ambos os lados por 4, encontramos a razão:

r = 3

Incrível! Descobrimos que a razão da nossa PA é 3. Isso significa que a cada termo que avançamos na sequência, somamos 3 ao valor anterior. Agora, podemos usar essa informação para encontrar o primeiro termo (a1) e, finalmente, o nosso tão esperado a17.

Encontrando o Primeiro Termo: A Base da Nossa Sequência

Com a razão (r = 3) em mãos, podemos usar uma das nossas equações originais para encontrar o primeiro termo (a1). Vamos usar a primeira equação:

19 = a1 + 4r

Substituindo o valor de r, temos:

19 = a1 + 4 * 3

19 = a1 + 12

Para isolar o a1, subtraímos 12 de ambos os lados:

a1 = 19 - 12

a1 = 7

Fantástico! Descobrimos que o primeiro termo da nossa PA é a1 = 7. Agora, temos todos os ingredientes necessários para calcular o a17: o primeiro termo, a razão e a posição do termo que queremos encontrar.

Calculando o a17: O Gran Finale da Nossa Jornada Matemática

Chegou o momento de usar a fórmula geral da PA para calcular o a17. Vamos relembrar a fórmula:

an = a1 + (n - 1) * r

No nosso caso, queremos encontrar o a17, então n = 17. Já sabemos que a1 = 7 e r = 3. Substituindo esses valores na fórmula, temos:

a17 = 7 + (17 - 1) * 3

a17 = 7 + 16 * 3

a17 = 7 + 48

a17 = 55

Missão cumprida! Conseguimos calcular o décimo sétimo termo da nossa PA: a17 = 55. Vimos como, a partir de algumas informações iniciais, podemos usar a fórmula geral da PA e um pouco de álgebra para desvendar qualquer termo da sequência.

A PA no Mundo Real: Mais do Que Números em Uma Lista

E aí, pessoal? Gostaram da nossa aventura matemática? Espero que este guia passo a passo tenha ajudado vocês a entender melhor como funcionam as progressões aritméticas. Mas as PAs não são apenas um conceito abstrato; elas estão presentes em diversas situações do nosso dia a dia. Pense em um programa de treinamento físico, onde você aumenta a carga de exercícios a cada semana; isso pode ser modelado como uma PA. Ou então, imagine a sequência de números em um calendário, onde a diferença entre os dias é sempre 1; mais uma aplicação das PAs!